Sebuah talang air terbuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan cara melipat bagiannya menjadi 3 bagian yang sama terlihat seperti gambar dibawah ini, b

Pembahasan

Sebuah talang air terbuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan cara melipat lebarnya menjadi tiga bagian yang sama. Besar sudut dinding talang dengan bidang alas adalah θ. Hitunglah besar sudut agar volum air yang tertampung maksimum dengan terlebih dahulu membuat sketsa ukuran ukuran yang diperlukan! Tuliskan langkah penyelesaiannya. 

Ini merupakan penerapan dari dua materi sekaligus, yaitu diferensial (turunan) sebagai bagian utama dan trigonometri sebagai bagian pelengkap. 

Fungsi talang air umumnya untuk menampung air hujan dan biasanya terletak di bagian sisi atap rumah. Pada soal ini diminta besar sudut kemiringan dinding talang terhadap bidang datar agar volum air yang tertampung maksimum. Ukuran panjang talang tidak diberitahukan karena dianggap tetap, sehingga volum maksimum air yang tertampung akan ditentukan dari nilai maksimum luas penampang talang yang berbentuk trapesium sama kaki seperti tampak pada gambar terlampir.

Step-1
Membentuk fungsi luas trapesium

Dimensi-dimensi
⇒ Sisi sejajar pertama = 10 cm
⇒ Sisi sejajar kedua = (10 + 2x) cm
⇒ Tinggi = t cm

⇔ Luas trapesium [tex]= \frac{1}{2}(jumlah \ sisi \ sejajar \times tinggi) [/tex]
⇔ Luas trapesium [tex]= \frac{1}{2}((10 + 10 + 2x)\times t) [/tex]
⇔ Luas trapesium [tex]= \frac{1}{2}((20 + 2x)t) [/tex]
⇔ Luas trapesium = 10t + xt

Dari skema gambar diperoleh 
⇒ [tex]sin \ \theta = \frac{t}{10} \rightarrow t = 10sin \ \theta[/tex]
⇒ [tex]cos \ \theta = \frac{x}{10} \rightarrow x = 10cos \ \theta[/tex]
Substitusikan ke dalam fungsi luas, sehingga variabelnya adalah θ.
⇔ L(θ) = 10(10 sin θ) + (10cos θ)(10 sin θ)
⇔ L(θ) = 100 sin θ + 100sin θcos θ
Gunakan rumus sudut rangkap 
sin 2A = 2 sinA cos A [tex]\rightarrow sin AcosA = \frac{1}{2}sin2A [/tex]
⇔ [tex]L(\theta) = 100sin \ \theta + 100( \frac{1}{2}sin2\theta)[/tex]
⇔ L(θ) = 100 sin θ + 50 sin 2θ

Step-2
Keadaan stasioner

⇔ L'(θ) = 0
⇔ 100 cos θ + 2(50) cos 2θ = 0
⇔ 100 cos θ + 100 cos 2θ = 0
Kedua ruas dibagi 100 untuk penyederhanaan
⇔ cos 2θ + cos θ = 0
Gunakan rumus sudut rangkap
cos 2θ = 2cos² - 1
⇔ 2cos² - 1 + cos θ = 0
Menjadi persamaan kuadrat trigonometri yang akan difaktorkan
⇔ 2cos² + cos θ - 1 = 0
⇔ (2cos θ - 1)(cos θ + 1) = 0
Untuk cos θ = -1, dengan θ = 180°, tentu tidak memenuhi sebab sudut yang dibentuk adalah sudut lurus.
Untuk [tex]cos \ \theta = \frac{1}{2} [/tex], dengan θ = 60° atau [tex] \frac{1}{3} \pi [/tex] tentu diterima dan memenuhi.

Kesimpulan & Jawaban
Agar talang dapat menampung volum air secara maksimum atau sebanyak-banyaknya, maka besar sudut dinding talang dengan bidang datar adalah θ = 60° atau [tex] \frac{1}{3} \pi [/tex].

-------------------------------------------
Simak soal-soal sejenis
(a). mencari ukuran tinggi kotak tanpa tutup agar volumnya maksimum
https://brainly.co.id/tugas/14936006
(b). mencari ongkos pembuatan agar tercapai luas kotak minimum
brainly.co.id/tugas/14502480
Ingin mempelajari kembali turunan trigonometri?
brainly.co.id/tugas/5686820
_________________________

Kelas            : XI
Mapel           : Matematika
Kategori       : Turunan
Kata Kunci   : talang, air, lembaran, seng, dinding, melipat,  bidang, alas, datar, sudut, trapesium, sama, kaki, volum, maksimum, penerapan, turunan, trigonometri, rangkap, keadaan, stasioner, persamaan, kuadrat, pemfaktoran

Kode : 11.2.8 [Kelas 11 Matematika Bab 8 - Turunan]