Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah …

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah 2i – 4j – 2k. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Penulisannya bisa ditulis dalam 2 huruf kapital atau 1 huruf kecil. Penulisan vektor bisa dalam bentuk

• Baris: u = (u₁, u₂, u₃)
• Kolom: u = [tex]\left[\begin{array}{ccc}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{array}\right][/tex]
• Basis: u = u₁i + u₂j + u₃k

Panjang vektor u: |u| = [tex]\sqrt{(u_{1})^{2} + (u_{2})^{2} + (u_{3})^{2}}[/tex]

Perkalian vektor

• u • v = u₁.v₁ + u₂.v₂ + u₃.v₃
• u • v = |u| . |v| cos α

dengan α adalah sudut antara vektor u dan vektor v

Proyeksi vektor ortogonal u pada v

• [tex]u_{v} = \frac{u \: . \: v}{|v|^{2}} \: v[/tex]

Proyeksi skalar u pada v (panjang proyeksi vektor u pada v)

• [tex]|u_{v}| = \left|\frac{u \: . \: v}{|v|} \right|[/tex]

Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya di titik O, contoh:

• OA = a, OB = b, OP = p dan sebagainya

Jika titik pangkalnya bukan di titik O, maka

• AB = b – a
• PQ = q – p

Pembahasan

Diketahui

Segitiga ABC

• A(–2, 3, 1)
• B(1, –1, 0)
• C(–1, 1, 0)

Ditanyakan

Proyeksi vektor AB terhadap AC = .... ?

Jawab

AB = b – a

AB = [tex]\left[\begin{array}{ccc}1\\-1\\0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}-2\\3\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3\\-4\\-1\end{array}\right] [/tex]

AC = c – a

AC = [tex]\left[\begin{array}{ccc}-1\\1\\0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}-2\\3\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1\\-2\\-1\end{array}\right] [/tex]

|AC| = [tex]\sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + (-1)^{2}}[/tex]

|AC| = [tex]\sqrt{1 + 4 + 1}[/tex]

|AC| = [tex]\sqrt{6}[/tex]

AB . AC = [tex]\left[\begin{array}{ccc}3\\-4\\-1\end{array}\right] \: . \: \left[\begin{array}{ccc}1\\-2\\-1\end{array}\right] [/tex]

AB . AC = 3(1) + (–4)(–2) + (–1)(–1)

AB . AC = 3 + 8 + 1

AB . AC = 12

Proyeksi vektor AB terhadap AC

[tex]AB_{AC} = \frac{AB \: . \: AC}{|AC|^{2}} \: AC[/tex]

[tex]AB_{AC} = \frac{12}{(\sqrt{6})^{2}} \: AC[/tex]

[tex]AB_{AC} = \frac{12}{6} \: AC[/tex]

[tex]AB_{AC} = 2 \: AC[/tex]  

[tex]AB_{AC} = 2 \: \left[\begin{array}{ccc}1\\-2\\-1\end{array}\right] [/tex]

[tex]AB_{AC} = \left[\begin{array}{ccc}2\\-4\\-2\end{array}\right] [/tex]

[tex]AB_{AC} [/tex] = 2i – 4j – 2k  

Pelajari lebih lanjut  

Contoh soal lain tentang  

• Panjang proyeksi vektor: https://brainly.co.id/tugas/2175211
• Proyeksi vektor ortogonal: https://brainly.co.id/tugas/14425472
• Proyeksi vektor ortogonal: https://brainly.co.id/tugas/8127575

------------------------------------------------

Detil Jawaban    

Kelas : 10

Mapel : Matematika Peminatan

Kategori : Vektor

Kode : 11.2.8

Kata Kunci : Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0)